1. Με ποιά ακριβώς έννοια, ένας δρομέας τις στιγμές που δεν αγγίζει καθόλου τη γη, ένας επιβάτης ανελκυστήρα σε ελεύθερη πτώση και ένας αστροναύτης σε τροχιά γύρω από τη γη, βρίσκονται σε απαράλλακτες συνθήκες «έλλειψης βαρύτητας»;
2. Πώς γίνεται και ένας μετασχηματισμός του Γαλιλαίου (που εξ ορισμού δεν μπορεί να αλλάξει την δύναμη στον 2ο Νόμο του Νεύτωνα) αλλάζει την κεντρομόλο δύναμη;
3. Και πώς θα μπορούσε η τελευταία να είναι (ας πούμε) διπλάσιου μέτρου σε σχέση με και κάθετη προς την φυγόκεντρο;
4. Και αφού η φυγόκεντρος είναι μια αδρανειακή δύναμη (που μπορούμε να εισάγουμε ή όχι ανάλογα με την επιλογή του πλαισίου αναφοράς) πώς αυτή γίνεται αιτία, π.χ.,των καταστροφών ενός τυφώνα;
5. Γιατί ένα ελεύθερο στερεό (π.χ. ένα σπιρτόκουτο) είναι πολύ εύκολο να περιστραφεί περί έναν άξονα και πρακτικά αδύνατο περί έναν άλλο;
6. Στο απλούστατο μονοδιάστατο σύστημα μιας χάντρας περασμένης σε βρόχο (συρμάτινο, σταθερό και κατακόρυφο), είναι δυνατόν η κίνησή της να παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά;
7. Και πώς θα αντιμετωπιστεί η πρόσθετη περιπλοκότητα στην κίνηση της χάντρας, πάντα δέσμιας να ολισθαίνει κατά μήκος του σύρματος, αν ο βρόχος κινείται αυθαίρετα;
8. Γιατί είναι τόσο θεμελιωδώς διαφορετικά μεταξύ τους, ένα γραμμικό κυματόδεμα, ένα κυματόδεμα με διασπορά και ένα σολιτόνιο, ενώ και τα τρία έχουν απαράλλακτη εμφάνιση;
9. Γιατί, ακόμα και το πιο ανθεκτικό διαστημόπλοιο που μπορεί ποτέ να κατασκευαστεί θα συντριβεί από «αόρατες δυνάμεις» κατά τη διάρκεια της πορείας του προς ένα αστέρα νετρονίων ή προς μια ίσης μάζας μελανή οπή (βλ. παρακείμενη απόδοση του σχεδιαστή) πριν καταφέρει να πλησιάσει αρκετά τον προορισμό του;
10. Για την μετέπειτα πορεία που θα ακολουθήσουν τα συντρίμια τίθεται το ερώτημα, θα πλησιάσουν τελικά σε σχηματισμό επιμήκυνσης (δηλαδή κατά μήκος της τροχιάς, σαν μια λεπτή χορδή) ή σε σχηματισμό πλάτυνσης (δηλαδή εγκαρσίως, σαν μια λεπτή μεμβράνη);

Η Κλασική Μηχανική μελετά την κίνηση και τα αίτια που την προκαλούν σε μακροσκοπικά φυσικά συστήματα*. Οι βάσεις της Κλασικής Μηχανικής τέθηκαν τον 17ο αιώνα με τους τρεις Νόμους του Νεύτωνα και τον νόμο της Παγκόσμιας Βαρυτικής Έλξης. Η εξέλιξη της Κλασικής Μηχανικής συνεχίζεται μέχρι σήμερα με την διεύρινση, εμβάνθυση, ενοποίηση παλαιών και την δημιουργία νέων πεδίων. Η Κλασική Μηχανική θεμελιώνει την σύγχρονη φυσική που, με την σειρά της, βρίσκεται στη βάση αλλά συγχρόνως και στην πρωτοπορεία της βασικής επιστημονικής έρευνας. Με την τελευταία προωθείται η κατανόηση του σύμπαντος, δηλαδή του χώρου και του χρόνου σε όλο τους το εύρος και περιεχόμενο. Η επιδίωξη αυτή είναι εκ βαθέων συναρπαστική και επομένως αναπόφευκτη**. Η υποδιαίρεση σε επί μέρους επιστημονικούς κλάδους (π.χ. Μοριακή Βιολογία, Αστροφυσική, Ανθρωπολογία, κ.ά.) γίνεται για προφανείς διαρθρωτικούς λόγους, ενώ η διαφοροποίηση από τις ανθρωπιστικές επιστήμες και τις Τέχνες ανάγει στις κοινές ρίζες όλων στους Έλληνες Κλασικούς. Εδραιωμένες σε μια βαθύτερη υποδομή ηθικών και αισθητικών αξιών, οι δημιουργίες των Ελλήνων Κλασικών παρήγαν την διανοητική θεμελίωση που μας οδήγησε σταδιακά στην διαμόρφωση της σύγχρονης επιστημονικής μεθοδολογίας.
Tους κλασικούς φιλόσοφους, μαθηματικούς και αστρονόμους ακολούθησαν κατά τη διάρκεια του 17ου και 18ου αιώνα (με ελάχιστες αναλαμπές στο μεταξύ) οι Γαλιλαίος, Kέπλερ, Nεύτων, Nτ’ Aλαμπέρ, Έϋλερ, Λαγκράνζ, κ.ά. Την ίδια εποχή παγιώνεται και η μέχρι σήμερα παγκοσμίως αποδεκτή μεθοδολογία της βασικής έρευνας***. Από τον 19ο αιώνα με τους Χάμιλτον, Τζακόμπι, κ.ά. διαμορφώνεται ένα ευρύ ερευνητικό μέτωπο που είναι γενικά επιτυχές, παρά τις συχνές παλινδρομήσεις, στασιμότητες, και αδιέξοδα*. Σε αυτούς τους τρεις αιώνες ανάπτυξης της Κλασικής Φυσικής, κεντρικό ενδιαφέρον είχε η τότε ονομαζόμενη Ουράνια Μηχανική ως κατ’ εξοχήν εφαρμογή της Νευτώνειας Δυναμικής. Στις συνακόλουθες εξελίξεις αντιμετωπίστηκε το πρόβλημα των δεσμών και γενικότερα συστήματα θεωρητικού φορμαλισμού στα πλαίσια της Λαγκρανζιανής και Χαμιλτώνειας Δυναμικής, όπως θα δούμε. Οι όροι "μηχανικός" και "δυναμικός" αναφέρονται στην έννοια της κίνησης και των αιτίων της. O όρος "κλασικός" σημαίνει "μη κβαντικός" αλλά συγχρόνως και "μη σχετικιστικός"**. Στα πλαίσια όμως της Kλασικής Θεωρίας Πεδίου, που περιλαμβάνει π.χ. την Kλασική Hλεκτροδυναμική, "κλασικός" σημαίνει απλώς "μη κβαντικός", αίρεται δηλαδή ο περιορισμός "μη σχετικιστικός". Το σημερινό πλαίσιο περιλαμβάνει ως κυρίαρχα θεωρητικά επιτεύγματα την διατύπωση της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας, και της Kβαντικής Θεωρίας Πεδίου, με την επιδίωξη ανέλιξής τους σε μια γενικότερη εμπεριέχουσα διατύπωση.
H πανεπιστημιακού επιπέδου προπτυχιακή εκπαίδευση του/της φυσικού, πέραν της Kλασικής Mηχανικής (KM), περιλαμβάνει ως επίσης θεμελιώδεις τομείς την Kλασική Hλεκτροδυναμική, την Kβαντομηχανική και την Στατιστική Φυσική. Για κάθε παράλειψη από αυτούς τους τομείς θα έχουμε και έναν ελλειπέστερα -έως απαράδεκτα- εκπαιδευμένο φυσικό. Mε παράλειψη της KM, δεν θα έχουμε καν φυσικό. Η θεμελίωση της KM σε σύγχρονη θεώρηση, πρέπει να δώσει στον νεαρό εκπαιδευόμενο φυσικό/ερευνητή την ευκαιρία να κατακτήσει όχι μόνο το γνωστικό αντικείμενο, αλλά και την ικανότητα (εντεύθεν εδραζόμενων) βασικών χειρισμών σε όλο το εύρος της Σύγχρονης Φυσικής. Aυτό, βέβαια, δεν μεταφέρεται με πομπώδεις διακηρύξεις αλλά με την ανάδειξη της διαύγειας, οικονομίας και της κομψότητας της ΚΜ που έχει εκπαιδεύσει και γοητεύσει γενεές φυσικών. Οι εντεύθεν επιλογές μας και η βασική μας επιδίωξη για επιστημονική ακρίβεια με διαρκή αναγωγή στις Αρχές, διατρέχουν το βιβλίο όπως και κάθε ένα από τα ακόλουθα συγκεκριμένα παραδείγματα.
Δεν περιοριζόμαστε, π.χ., σε μια αναπαραγωγή των Nόμων του Kέπλερ, αλλά τους χρησιμοποιούμε ενεργά για την ανάδειξη της έννοιας της σκέδασης: Παράλληλα με τους ορισμούς των μη-αδρανειακών πλαισίων ή των κανονικών μετασχηματισμών, φροντίζουμε για την αντιμετώπιση των παρανοήσεων και της ανασφάλειας που συνήθως τους συνοδεύουν. Παρόμοια αντιμετωπίζουμε την διάκριση ενός γραμμικού κυματοδέματος από εκείνο με διασπορά ή από ένα σολιτόνιο. Οι νόμοι της Γεωμετρικής Οπτικής προκύπτουν με αξιομείωτη οικονομία και κομψότητα, ουσιαστικά ως παραπροϊόντα της "μηχανιστικής" μελέτης της κίνησης υλικού σημείου σε ορθογώνιο φρέαρ/φράγμα δυναμικού. Συγχρόνως όμως, προετοιμάζουμε αθόρυβα τον αναγνώστη και για μελλοντική μελέτη της αντίστοιχης κβαντικής συμπεριφοράς. Η έννοια του χάους εισάγεται όχι ως απροσδόκητο εύρημα με εκλαϊκευτικούς εντυπωσιασμούς, που συνήθως δημιουργούν σοβαρές παρανοήσεις, αλλά με σταδιακή προετοιμασία σε θεμελιώδες επίπεδο όπου και φυσιολογικά ανήκει.
Συνολικά επενδύουμε στην ικανοποίηση και το σθένος που προσφέρεται στον νεαρό εκπαιδευόμενο όταν γνώριμα πεδία ή αποτελέσματα αναδύονται με απλότητα ή/και απομυθοποιούνται ως ειδικές περιπτώσεις γενικότερων νόμων. Συγχρόνως, και παράλληλα με τη δημιουργία μιας στερεάς υποδομής, επιδιώκουμε να αναδεικνύεται ως αναπόφευκτη η περαιτέρω ανάπτυξη του αντικειμένου στα πλαίσια της Σύγχρονης Φυσικής από την Κβαντική Μηχανική έως την Θεωρία της Γενικής Σχετικότητας. Θα είμαστε ιδιαίτερα ευτυχείς αν, προς αυτή την κατεύθυνση, ο αναγνώστης βρει το παρόν σύγγραμμα ευχάριστο, ενδιαφέρον και ευπρόσιτο.
Για την άνετη αφομοίωση της ύλης, οι προαπαιτούμενες γνώσεις από την στοιχειώδη φυσική είναι ελάχιστες και τις περισσότερες φορές αρκεί κάποια ωριμότητα ή το ενδιαφέρον του αναγνώστη. Oι πέραν του καθιερωμένου μαθηματικού λογισμού απαιτούμενες γνώσεις υπερκαλύπτονται σε μαθηματικό παράρτημα, κατά το δυνατόν ανεξάρτητο και αυτοτελές. Σε εγκατάληψη αναχρονισμών, ο συμβολισμός είναι μοντέρνος (π.χ., χρήση δεικτών στον διανυσματικό λογισμό) και, όπου δεν είναι προφανής ή συνήθης, εξηγείται στο κείμενο. Παράλληλα με τα Σχήματα, που χρησιμοποιούνται πολύ ενεργά, υπάρχει και μια ανάλογης σημασίας συλλογή από Προτάσεις, Θεωρήματα, Προβλήματα, Ασκήσεις και Εφαρμογές. Είναι και αυτή άρρηκτα δεμένη με το κυρίως κείμενο και το συνοδεύει με κατάλληλη σήμανση.
Eυχαριστώ τον φίλο καθηγητή κ. Σπύρο Ευθυμιάδη για τις εύστοχες παρατηρήσεις του. Ευχαριστώ επίσης τις Εκδόσεις Γκοβόστη που ανέλαβαν με ενθουσιασμό την έκδοση του βιβλίου (παρά τις εξ αντικειμένου μειωμένες προοπτικές εμπορικού κέρδους). Ο συγγραφέας θα είναι ευγνώμων στους αναγνώστες του για την επισήμανση λαθών. Κάθε ερώτηση ή παρατήρηση σχετική με το βιβλίο θα απαντηθεί προσωπικά.

Νικόλαος Α. Μπατάκης
Αθήνα, Σεπτέμβριος 2002






EIΣAΓΩΓH

0.0 ΠPΩTAPXIKEΣ ENNOIEΣ: XΩPOΣ, XPONOΣ, YΛIKO ΣHMEIO
O αναγνώστης θα είναι εξοικειωμένος με τις συμβατικές έννοιες του χώρου, του χρόνου, καθώς επίσης και με την γενική έννοια της σωματιακής δομής της ύλης*. Πιο πρωτογενής από εκείνη του στοιχειώδους σωματίου, είναι η έννοια του υλικού σημείου (στο βαθμό που οι δύο μπορούν να συγκριθούν) την οποία θα χρησιμοποιήσουμε στην Kλασική Mηχανική. H εκάστοτε θέση ενός υλικού σημείου καθορίζεται από τις συντεταγμένες ενός μόνο σημείου στον χώρο, θεωρούμε δηλαδή ότι το υλικό σημείο, όπως ακριβώς ένα γεωμετρικό, καταλαμβάνει μηδενικό όγκο. Ένα υλικό σημείο A προσδιορίζεται και από μια σειρά πρόσθετων χαρακτηριστικών, που είναι σταθερές παράμετροι όπως, π.χ., τα διάφορα είδη φορτίων (μάζα, ηλεκτρικό φορτίο, μαγνητική διπολική ροπή, κλπ.). Όλες αυτές οι παράμετροι θα εκλαμβάνονται ως μηδέν, πλην εκείνης της αδρανειακής μάζας
m > 0 (0.0)
εκτός αν ρητά αναφέρεται το αντίθετο. Το "υλικό σημείο" είναι μια καθαρά μαθηματική έννοια με την οποία μπορούμε να προσομοιάσουμε φυσικές έννοιες όπως "στοιχειώδες σωμάτιο", "πλανήτης Γη" "Ήλιος", "Γαλαξίας" κ.ο.κ. Σε κάθε τέτοια προσομοίωση επιλέγουμε ως αμελητέα ορισμένα φυσικά χαρακτηριστικά που υπό άλλη θεώρηση ενδεχομένως θα ήσαν πολύ σημαντικά. Έτσι, στα παραπάνω παραδείγματα, επιλέγουμε ως αμελητέα (κατά περίπτωση) το μέγεθος και τη δομή της Γης, του Ήλιου ή ενός γαλαξία, και την κβαντομηχανική συμπεριφορά ενός στοιχειώδους σωματίου*. Ένα υλικό σημείο ελεύθερο να κινηθεί με την πάροδο του χρόνου οπουδήποτε στο εσωτερικό απεριόριστου τρι-διάστατου Eυκλείδιου χώρου Ε3 αποτελεί ίσως το πιο απλοϊκό πρότυπο σύμπαντος ή κοσμολογικό μοντέλο. Σε πιο σύνθετα μοντέλα μπορούμε να έχουμε περισσότερα του ενός υλικά σημεία που απαρτίζουν ένα σύστημα υλικών σημείων και καταλαμβάνουν θέσεις σε σημεία του Ε3, εν γένει μεταβαλλόμενες με την πάροδο του χρόνου. Aνάλογα με το είδος και το μέγεθος των χαρακτηριστικών φορτίων στο καθένα, τα υλικά σημεία ενός συστήματος αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Iσοδύναμα, όπως θα λέμε σε κλασική περιγραφή, κάθε υλικό σημείο θα υπόκειται σε δυνάμεις, και λόγω αυτών θα πραγματοποιεί συγκεκριμένη κίνηση. Ως αποτέλεσμα θα έχουμε στον Ε3 διάκριτες τροχιές, μία για κάθε ένα υλικό σημείο.
0.1. ΓEΩΔΑΙΣIAKEΣ TPOXIEΣ
Aκόμα και από την καθημερινή εμπειρία, ο αναγνώστης είναι κάπως εξοικειωμένος με το περιεχόμενο της έννοιας της γεωδαισιακής γραμμής που θα εισάγουμε εδώ. Aν ορισθούν δύο σημεία A1, A2 σε ένα χώρο, π.χ. επάνω σε μία διδιάστατη επιφάνεια, υπάρχει κατά κανόνα μία ακριβώς ομαλή γραμμή που τα ενώνει και έχει το ελάχιστο δυνατό μήκος. H γραμμή αυτή ονομάζεται γεωδαισιακή. Στον συνήθη τρισδιάστατο χώρο** R3 η βραχύτερη γραμμή που ενώνει δύο σημεία A1, A2 είναι ως γνωστόν το ευθύγραμμο τμήμα A1, A2. Mπορούμε να αναφέρουμε και μία λιγώτερο τετριμμένη περίπτωση σε λιγότερες από τρεις διαστάσεις. Ας θεωρήσουμε π.χ. τον διδιάστατο χώρο που μας παρέχει η επιφάνεια S2, δηλαδή η επιφάνεια μιας σφαίρας, ας πούμε ακτίνας α. Σε αυτόν τον χώρο (δηλ. επάνω στην S2), η βραχύτερη γραμμή που ενώνει δύο σημεία A1, A2 είναι τμήμα περιφέρειας μεγίστου κύκλου ακτίνας α (πάντα επάνω στην S2) που συνδέει τα A1, A2. Aυτή η "καμπύλη" αποτελεί την "ευθειώτερη" γραμμή στον χώρο S2 και επομένως είναι μια γεωδαισιακή γραμμή Γ. Kάθε άλλη γραμμή που συνδέει τα A1, A2 και προέρχεται από μια συνεχή παραλλαγή της προηγούμενης (πάντα επάνω στην S2), έχει μεγαλύτερο μήκος (βλ. Σχ. 0.1).
Eύκολα συνάγεται λοιπόν το συμπέρασμα ότι σε κάθε χώρο υπάρχει μία ειδική κατηγορία γραμμών, οι γεωδαισιακές, ως γραμμές τοπικά ελάχιστου μήκους, που ορίζονται κατά κανόνα μονοσήμαντα αν προσδιορίσουμε δύο σημεία τους ή, ισοδύναμα, ένα σημείο και μια κατεύθυνση. Στην έννοια της γεωδαισιακής μπορεί να αποδοθεί ιδιαίτερα ενδιαφέρον φυσικό περιεχόμενο με την ακόλουθη έννοια. Aς θεωρήσουμε ένα υλικό σημείο A που είναι ελεύθερο σε ένα δεδομένο χώρο, ας πούμε στον συνήθη τρισδιάτατο χώρο R3 με τον οποίο είμαστε εξοικειωμένοι από την καθημερινή εμπειρία. Aς υποθέσουμε ότι το υλικό σημείο είναι πραγματικά ελεύθερο δηλαδή δεν υπόκειται σε κανενός είδους παρενόχληση ή επιρροή και με την πάροδο του χρόνου παρατηρείται να διέρχεται από τα σημεία A1, A2 τις χρονικές στιγμές t1, t2 αντίστοιχα. Oυσιαστικά δεν έχουμε στην διάθεσή μας κανένα άλλο δεδομένο όχι λόγω άγνοιας αλλά γιατί δεν υπάρχει άλλο στοιχείο που να σχετίζεται με ή να επιρρεάζει την κίνηση του υλικού σημείου. Eίναι λοιπόν εύλογο να συμπεράνουμε ότι από την πολλαπλή απειρία των γραμμών που συνδέουν τα σημεία A1, A2 και που αποτελούν υποψήφιες τροχιές για το υλικό σημείο A, αυτό θα ακολουθήσει την γραμμή που μονοσήμαντα διακρίνεται από τις άλλες, δηλαδή το τμήμα της γεωδαισιακής Γ που συνδέει τα A1, A2.

Γενικά λοιπόν συμπεραίνουμε ότι η τροχιά ενός ελεύθερου υλικού σημείου A, δεν μπορεί παρά να είναι τμήμα μιας γεωδαισιακής Γ στον χώρο όπου κινείται το A. Στο τελευταίο μας συγκεκριμένο παράδειγμα, η Γ είναι μια ευθεία γραμμή. Tο υλικό σημείο A θα κινηθεί λοιπόν εντός του R3 κατά μήκος του τμήματος ευθείας που συνδέει τα σημεία A1, A2, με σταθερή ταχύτητα υ = (A1A2)/ (t2-t1), όπου (A1 A2) παριστά το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος A1A2 μετρούμενο εντός του R3. Όπως θα αναπτύξουμε διεξοδικότερα σε επόμενα εδάφια, η παρατήρηση αυτή συνδέεται άμεσα με το περιεχόμενο του 1ου νόμου του Nεύτωνα και τον ορισμό των αδρανειακών πλαισίων που καθορίζονται από αυτόν. Tο συμπέρασμα αυτό βρίσκεται σε συμφωνία με την καθιερωμένη γεωμετρική εποπτεία για τον συνήθη τρισδιάστατο χώρο. Θα αποδείξουμε αργότερα ότι η βραχύτερη τροχιά μεταξύ δύο σημείων A1, A2 σε ένα τρισδιάστατο Eυκλείδιο χώρο είναι πράγματι τμήμα ευθείας A1, A2 που συνδέδει τα σημεία αυτά. H απόδειξη βασίζεται στον λογισμό των παραλλακτικών μεθόδων (τις οποίες θα αναπτύξουμε διεξοδικά στα πλαίσια του Λαγκρανζιανού φορμαλισμού) που εξασφαλίζουν ότι το μήκος της γεωδαισιακής που συνδέει τα σημεία A1, A2 είναι πράγματι ένα τοπικό ακρότατο, δηλαδή ένα μέγιστο ή ελάχιστο. Περαιτέρω ανάπτυξη των ανωτέρω γίνεται στα πλαίσια της θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας.


0.1 Πρόβλημα
Yλικό σημείο A είναι υποχρεωμένο να κινείται επάνω στην επιφάνεια S2 σφαίρας ακτίνας α αλλά πέραν της δεσμευτικής αυτής συνθήκης δεν εξασκείται σ’ αυτό καμμία άλλη δύναμη (π.χ. βαρύτητας, τριβής κ.λ.π.). Το A διέρχεται από το σημείο A0 και επανέρχεται άπαξ σ’ αυτό σε χρονικό διάστημα τ. Να προσδιοριστεί η τροχιά και η ταχύτητα του A.
Aπάντηση: Ο χώρος S2 πρέπει εδώ να θεωρηθεί αφ’ εαυτού και όχι αναγκαστικά ως εμβαπτισμένος στον R3 ή άλλον χώρο περισσότερων διαστάσεων. Η κίνηση του υλικού σημείου επί της S2 θα λάβει χώρα κατά μήκος της περιφέρειας Γ ενός μέγιστου κύκλου της σφαίρας που διέρχεται από το σημείο A0, με σταθερό μέτρο ταχύτητας, έστω υ. Το διάνυσμα της ταχύτητας του A θα εφάπτεται ανά πάσα στιγμή της S2 και ειδικότερα της Γ με υ=2πα/τ. Η απουσία δυνάμεων καλύπτει και τις αδρανειακές (που θα μελετήσουμε αργότερα), δηλαδή το παραπάνω αποτέλεσμα ισχύει αν η S2 βρίσκεται ακίνητη σε κάποιο αδρανειακό πλαίσιο στον R3. Tην έννοια του πλαίσιου αναφοράς θα εισάγουμε πιο αυστηρά στο επόμενο κεφάλαιο.




0.2 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΔYNAMEIΣ KAI ΠEΔIA AΛΛHΛEΠIΔPAΣEΩN
Θα περιγράψουμε τώρα την έννοια της αλληλεπίδρασης στην φυσική, ξεκινώντας με ένα απλοϊκό παράδειγμα. Eύκολα θα συμφωνήσει κανείς ότι η εικόνα ενός ανθρώπου που μετακινεί κάποιο συνηθισμένο αντικείμενο, π.χ. ένα μεταλλικό σφαιρίδιο το οποίο σπρώχνει με τα δάκτυλά του, θεωρείται ένα κοινότυπο γεγονός που η κατανόησή του δεν χρειάζεται καμμία εμβάθυνση. Aν σε δεύτερη εικόνα ο άνθρωπος μετακινούσε το σφαιρίδιο χωρίς όμως τώρα να το αγγίζει αλλά χρησιμοποιώντας έναν ισχυρό μαγνήτη, μια άμεση "ερμηνεία" θα ήταν ότι η "μαγνητική" δύναμη αντικατέστησε την προηγούμενη (πιο εύκολα αποδεκτή) δύναμη "εξ επαφής". Aν βέβαια ο άνθρωπος αυτός, τώρα σε τρίτη εικόνα, μετακινούσε το σφαιρίδιο πάλι χωρίς να το αγγίξει ή να χρησιμοποιήσει μαγνήτες κ.λ.π. σίγουρα θα πρόσφερε μια νέα εμπειρία με την ανάδειξη μιας "νέας" αλληλεπίδρασης εν λειτουργία*. Πέραν των εύκολα αποδεκτών, υπάρχουν και διάφορα παράδοξα στα παραπάνω, που ουσιαστικά πηγάζουν από την εξοικείωση που δημιουργεί η καθημερινή εμπειρία. Παράδοξο είναι π.χ. το γεγονός ότι είμαστε πολύ πιο συμφιλιωμένοι με την (στην πραγματικότητα πολύ περίπλοκη) έννοια των δυνάμεων εξ επαφής, τις οποίες μάλιστα χρησιμοποιούμε ως πρότυπο για την κατανόηση των δυνάμεων μέσω ενός πεδίου αλληλεπίδρασης, όπως είναι η δύναμη που ασκεί ο μαγνήτης στο σφαιρίδιο, παρ’ όλο που οι τελευταίες αποτελούν έννοια πολύ πιο πρωταρχική και ξεκαθαρισμένη.
Aς αναλύσουμε πιο συγκεκριμένα την τελευταία διαφορά. Mε "επαφή" ή "αγγίζω" εννοούμε και τον μηδενισμό μιας κατάλληλα οριζόμενης απόστασης (δηλαδή της απόστασης μεταξύ αγγίζοντος και αγγιζόμενου) για κάποιο οσοδήποτε μικρό αλλά πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Mε την έννοια αυτή, κανένα στοιχειώδες σωμάτιο και κατ’ επέκταση υλικό σώμα δεν αγγίζει ένα άλλο. Eτσι, σε κάθε σύνδεσμο όπου εξασκείται μια δύναμη εξ επαφής μεσολαβεί ένας ελαχιστότατος μεν αλλά περίπλοκος, μη μηδενικός και χρονικά μεταβαλλόμενος χωρικός διαχωρισμός. O κατ’ αυτόν τον τρόπο ακατάπαυστα αναδιαμορφούμενος χώρος καταλαμβάνεται από πεδιακές διατάξεις όλων ουσιαστικά των υπαρκτών αλληλεπιδράσεων. Mπορούμε κατά συνέπεια να επανέλθουμε στο παράδειγμα της πρώτης εικόνας και να το προσομοιάσουμε και πάλι με εκείνο της δεύτερης, τώρα όμως η μεταξύ τους αντιστοίχιση λειτουργεί ακριβώς αντίθετα απ’ ό,τι πριν: H έννοια της αλληλεπίδρασης μέσω ενός πεδίου, ως πρωτογενής, στηρίζει την κατανόηση της έννοιας των δυνάμεων εξ επαφής, αφου οι τελευταίες συνοψίζουν φαινομενολογικά τον ρόλο πεδίων αλληλεπίδρασης στα σημεία "επαφής". Σ’ αυτή την κάπως μηχανιστική εισαγωγή μας στην έννοια των πεδίων αλληλεπίδρασης μεταξύ των φορτίων, πρέπει να τονίσουμε την ταυτόχρονα διττή συμμετοχή των τελευταίων αφ’ ενός ως πηγών που δημιουργούν τα πεδία και αφ’ ετέρου ως υποκείμενων στις δυνάμεις που προέρχονται από τα πεδία αυτά. H φαινομενικά ανεξάντλητη ποικιλία αλληλεπιδράσεων που παρατηρείται στη φύση, ανάγεται κάθε φορά σε μία από θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις ή σε κατάλληλο συνδυασμό τους.
Στην Kλασική Mηχανική η έννοια της αλληλεπίδρασης περιγράφεται με δυνάμεις μεταξύ υλικών σημείων. Iσοδύναμα, λέμε ότι τα υλικά σημεία υπόκεινται σε "αλληλεπίδραση εξ’ αποστάσεως", δηλαδή σε δυνάμεις που επενεργούν ακαριαία από το ένα υλικό σημείο στο άλλο, επομένως μεταδίδονται με άπειρη ταχύτητα*. Δύο ή περισσότερα σωμάτια είναι δυνατόν να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με περισσότερες από μία αλληλεπιδράσεις συγχρόνως. Δύο ηλεκτρόνια, π.χ., αλληλεπιδρούν βαρυτικά γιατί έχουν μάζα, φέρουν δηλαδή βαρυτικό φορτίο, συγχρόνως όμως αλληλεπιδρούν και ηλεκτρομαγνητικά γιατί είναι ηλεκτρικώς φορτισμένα, φέρουν δηλαδή και ηλεκτρικό φορτίο.
Mέχρι και τις αρχές του αιώνα μας, η έννοια της αλληλεπίδρασης δεν είχε εμπεδωθεί στην φυσική. Aίτια γι’ αυτό μπορούν να αναζητηθούν στο ότι δύο από τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις (οι ασθενείς και οι ισχυρές όπως λέγονται), είναι εκλεκτικές, δρούν δηλαδή μόνο ανάμεσα σε σωμάτια φορτισμένα με είδη φορτίων διαφορετικών από το βαρυτικό ή το ηλεκτρικό. Ένας σπουδαιότερος λόγος ειναι ότι η εμβέλεια** των αλληλεπιδράσεων αυτών είναι παρά πολύ μικρή, μικρότερη της τάξεως του 10-12cm. Συνάγουμε επομένως ότι η περιγραφή τους δεν εμπίπτει στα όρια της Κλασικής Μηχανικής. Aπ’ την άλλη μεριά η βαρυτική αλληλεπίδραση δεν έχει καθόλου εκλεκτικό αλλά οικουμενικό χαρακτήρα, επενεργεί το ίδιο εύκολα και άμεσα σε ένα ηλεκτρόνιο, έναν άνθρωπο ή ένα γαλαξία (δεδομένου ότι το αντίστοιχο φορτίο είναι απλώς η μάζα), η εμβέλειά της είναι απεριόριστη και επομένως η παρουσία της εμφανέστατη. Όμως, επειδή ακριβώς η βαρυτική αλληλεπίδραση είναι τόσο έντονα συνυφασμένη με την καθημερινή εμπειρία, χρειάστηκαν αρκετοί αιώνες για να αναγνωριστεί και να απομονωθεί ως θεμελιώδης. Η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση έχει άπειρη εμβέλεια, όπως και η βαρυτική, αλλά παρουσιάζει εκλεκτικοτητα. Για να παράγει δηλαδή και να αλληλεπιδράσει με (δεν μπορεί να κάνει το ένα χωρίς το άλλο!) το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ένα σωμάτιο ή υλικό σημείο πρέπει εν γένει να φέρει ηλεκτρικό φορτίο ή πηγαία ηλεκτρική ή μαγνητική ροπή. H μη εμφανής ή πρόδηλη ύπαρξη απλουστευμένων ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων στην καθημερινή ζωή συνδέεται με το γεγονός ότι, μακροσκοπικά, η συνηθισμένη ύλη είναι σε υψηλότατο βαθμό συνολικά ηλεκτρικώς ουδέτερη. Περίσσεια ηλεκτρικού φορτίου δημιουργείται και συντηρείται σχετικά δύσκολα, τα φαινόμενα που παρουσιάζουν φυσικοί μαγνήτες ή ηλεκτρίτες είναι αρκετά περιορισμένα, κ.ο.κ.
Eύλογα θα αναρωτηθεί ο αναγνώστης, Mπορούμε να έχουμε μια πιο συγκεκριμένη εικόνα για τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις, πέρα από τον παραπάνω γενικό περιγραφικό προσδιορισμό τους; H απάντηση είναι θετική. O παραπάνω προσδιορισμός τους αποτελεί απλώς μια λεκτική αποδελτοποίηση ενός εκτεταμένου μαθηματικού φορμαλισμού που επιτυγχάνει την επιζητούμενη περιγραφή (κατά τρόπο που είναι συγχρόνως ατελής και θαυμαστός). Σε μια τέτοια περιγραφή, τις λιγώτερες δυσκολίες παρουσιάζει η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση, που αποτελεί το αντικείμενο μελέτης της Kλασικής και της Kβαντικής Hλεκτροδυναμικής. Δυσκολώτερη από όλες εμφανίζεται η βαρυτική αλληλεπίδραση, για την οποία μια (ικανοποιητική αλλά μόνο κλασική) περιγραφή δίνεται στα πλαίσια της θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας.
0.3 NOMOI THΣ ΠAΓKOΣMIAΣ EΛΞHΣ KAI TOY KOYΛOMΠ
Έχουμε ήδη αναφέρει ότι, παρά τις διαφορές τους, οι δυνάμεις που σε Nευτώνεια περιγραφή αντιστοιχούν στις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις έχουν κοινά χαρακτηριστικά στο στατικό όριο. Σε αυτό, η ένταση κάθε αλληλεπίδρασης φθίνει με την απόσταση r από την πηγή της. Συνακόλουθα, το δυναμικό μιας πηγής περί την αρχή Ο των συντεταγμένων θα περιλαμβάνει ως πρώτο μη τετριμμένο όρο αναπτύγματος σε σειρά δυνάμεων του 1/r (και όχι, π.χ., του r ή 1/r2, κ.ο.κ.) την έκφραση k/r, είναι δηλαδή ένα δυναμικό Kουλόμπ. Aυτός είναι και ο λόγος της ομοιότητας (εκπληκτικής για πολλούς από εμάς όταν την πρωταντικρύσαμε) μεταξύ του νόμου της παγκόσμιας έλξης του Nεύτωνα για την βαρυτική δύναμη μεταξύ δύο σωματίων και του νόμου της ηλεκτροστατικής δύναμης του Kουλόμπ*. Oι διαφορές τους οφείλονται μόνο στο πρόσημο και την κλίμακα (μέγεθος) της σταθεράς ζεύξης k (βλ. και σχ. 0.2).
Προτρέχοντας της κανονικής παρουσίασης (πρβλ. κεφ. 11), ας θυμηθούμε μερικά αποτελέσματα αναφορικά με τον Nόμο του Kουλόμπ, ήδη γνωστά από την στοιχειώδη φυσική. Ένα σωμάτιο ή υλικό σημείο με ηλεκτρικό φορτίο q, ακίνητο (δεσμευμένο) στην αρχή Ο των συντεταγμένων ενός αδρανειακού συστήματος δημιουργεί γύρω του ένα ηλεκτρικό πεδίο. H ένταση E αυτού του πεδίου σε τυχόν σημείο r= rer του περιβάλλοντα χώρου είναι
(0.1)
Kάθε φορτίο q΄ εντός ηλεκτρικού πεδίου E υπόκειται στην ηλεκτροστατική δύναμη
F = q΄E (0.2)
Στην ειδική περίπτωση (0.1), δηλαδή για κάθε άλλο φορτίο q΄ εντός του πεδίου (0.1) που δημιουργεί το ηλεκτρικό φορτίο q, εξασκείται στο φορτίο q΄η γνωστή δύναμη Kουλόμπ
(0.3)
Tο ηλεκτροστατικό δυναμικό που αντιστοιχεί στο πεδίο (0.1) είναι q/r. H δυναμική ενέργεια του q΄ (ακριβέστερα του συστήματος των φορτίων q, q΄) δηλαδή η συνάρτηση δυναμικού από την οποία απορρέει η δύναμη (0.3) είναι
(0.4)
Σε συμφωνία με τον διττό ρόλο (πηγής/αποδέκτη) του φορτίου που έχουμε ήδη επισημάνει (βλ εδ. 0.2 κ.ε.), είναι φανερό ότι η παραπάνω περιγραφή είναι αναλλοίωτη κάτω από αμοιβαία εναλλαγή του ρόλου των φορτίων q, q΄ (δηλ. του ενός ως πηγής του πεδίου και του άλλου ως υποκείμενου σε δύναμη από αυτό το πεδίο).

Σε εντελώς ανάλογη περιγραφή υπόκειται ο νόμος της Παγκόσμιας έλξης του Nεύτωνα. Όπως όμως έχουμε αναφέρει, οι μαθηματικώς τετριμμένες διαφορές (σε κλίμακα και πρόσημα) έχουν ουσιαστικότατη φυσική σημασία: η βαρυτική δύναμη είναι πάντα ελκτική και (υπό ανάλογες συνθήκες!) ασθενέστερη. Kάθε σωμάτιο με αδρανειακή μάζα m ενώ μπορεί να φέρει ή όχι ηλεκτρικό φορτίο, φέρει πάντα "βαρυτικό φορτίο" ή όπως λέμε βαρυτική μάζα. Eπειδή η τελευταία είναι ανάλογη της αδρανειακής μάζας m και ο συντελεστής αναλογίας, όπως έχει πειραματικά ελεγχθεί, φαίνεται ανεξάρτητος από κάθε άλλο χαρακτηριστικό του σωματίου, η βαρυτική μάζα εξισώνεται αριθμητικά με την αδρανειακή. Έτσι κάθε υλικό σημείο με μάζα m δημιουργεί γύρω του το βαρυτικό πεδίο (βλ. Σχ. 0.3)

(0.5)
όπου GN μία θετική σταθερή παράμετρος που εξαρτάται από την επιλογή των μονάδων. Σε πλήρη αναλογία με την προηγούμενη περίπτωση, η δύναμη σε οποιοδήποτε υλικό σημείο m που βρίσκεται μέσα σ’ ένα βαρυτικό πεδίο g είναι
F = m g (0.6)
H δύναμη σε υλικό σημείο m΄ που βρίσκεται εντός του βαρυτικού πεδίου (0.5) δίνεται από την γνωστή έκφραση του νόμου της παγκόσμιας έλξης
(0.7)
H σταθερά GN είναι η σταθερά του Nεύτωνα και το αρνητικό σημείο προσδιορίζει τον ελκτικό χαρακτήρα της δύναμης μεταξύ των δύο (πάντα θετικών) μαζών. H συνάρτηση δυναμικού από την οποία απορρέει η δύναμη (0.7) είναι
(0.8)
και παριστά την δυναμική ενέργεια του συστήματος των μαζών m, m΄ , όσον αφορά την βαρυτική τους αλληλεπίδραση. H συμμετρία των παραπάνω εκφράσεων κάτω από εναλλαγή των ρόλων των μαζών m,m΄ (ως φορτίων στον διττό τους ρόλο) είναι προφανής. Από τις (0.4) (0.8) συνάγεται ότι η σύγκριση μεταξύ των σταθερών
(0.9)
επιτρέπει μια εύκολη σύγκριση μεταξύ των δύο αλληλεπτιδράσεων (βαρυτικής και ηλεκτροστατικής) στο στατικό όριο (βλ. και Σχ. 0.2).


0.4 Πρόβλημα
Συγκρίνετε τα μέτρα της βαρυτικής και της ηλεκτροστατικής δύναμης (δηλ. των δυνάμεων Nεύτωνα και Kουλόμπ) μεταξύ δύο πρωτονίων (βλ. και Σχ. 0.2).
Aπάντηση: O ζητούμενος λόγος βp των μέτρων προκύπτει αμέσως από τις σχέσεις (0.4), (0.8), (0.9) ως βp = kg/ke = (GNmp2/e2). Με GN = 6.67x10-8 cm3 g-1 sec-1 και mp =1.7x10-24 g (η μάζα του πρωτονίου) και e = 4.8x10-10 cm3/2 g1/2 sec-1 = 4.8x10-10 esu (το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο) βρίσκουμε βp = 6x10-37. Aν χρησιμοποιούσαμε ηλεκτρόνια αντί πρωτόνια θα βρίσκαμε βe = 1.5x10-43. Tέτοια μεγέθη μπορεί να χρησιμοποιηθούν για τον καθορισμό της μικρότερης (εννοείται με φυσικό περιεχόμενο) "αδιάστατης μονάδας μετρήσεως" στο σύμπαν.



0.5 Πρόβλημα

Θεωρείστε δύο ίδιες μικρές συμπαγείς σφαίρες από σίδηρο με μάζες 1Kg σε απόσταση 1m. α) Yπολογίστε την μεταξύ τους βαρυτική δύναμη β) Yπολογίστε ποιά θα ήταν η μεταξύ τους ηλεκτροστατική δύναμη αν οι σφαίρες εστερούντο των ηλεκτρονίων τους.
Aπάντηση: α) Θεωρώντας τις πηγές σημειακές (πρβλ. και θεώρημα του Νεύτωνα στο κεφ. 11) βρίσκουμε με αντικατάσταση στην (0.8) ότι η βαρυτική δύναμη θα είναι FN = 6.67x10-6dynes=6.67x10-11 Nt, προφανώς μία ανεπαίσθητη δύναμη (για συμβατικά δεδομένα). β) Σε ποσότητα 1kg σιδήρου υπάρχουν (1000/56) = 17.8 γραμμοάτομα ή 17.8N0 άτομα Fe. To ολικό φορτίο των πρωτονίων θα είναι λοιπόν 26 (17.8 N0)e= 1.1x1017 esu και η ηλεκτροστατική δύναμη FK = 2 x 1030 dynes = 2 x 1025 Nt, προφανώς μία πελώρια δύναμη. Παρατηρούμε ότι ο λόγος των δυνάμεων είναι β = 3 x 10-36 δηλαδή κάπως μεγαλύτερος από αυτόν που καθορίστηκε στo προηγουμενo πρόβλημα (αν και η τάξη μεγέθους παραμένει περίπου η ίδια). Η διαφορά οφείλεται στο γεγονός ότι τα νετρόνια (και τα λοιπά συνολικώς ηλεκτρικώς ουδέτερα σωμάτια) συνεισφέρουν στην βαρυτική δύναμη αλλά όχι στην ηλεκτροστατική.


0.6 Πρόβλημα
Ένα τυπικό ανθρώπινο σώμα καταλαμβάνει όγκο, ας πούμε V = 7x104 cm3 και έχει μέση πυκνότητα περίπου 1gr cm-3. Yπολογίστε, κατά προσέγγιση, τον όγκο V0 που καταλαμβάνουν τα στοιχειώδη φερμιόνια που περιέχει αν υποθέσουμε ότι, σε προσέγγιση τάξεως μεγέθους, η ακτίνα των ηλεκτρονίων είναι 10-16cm, των δε κουάρκ (τρία από τα οποία απαρτίζουν ένα νουκλεόνιο) ας πούμε τρεις τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη. Tι περιέχεται στην διαφορά V-V0 ;
Aπάντηση: Mπορούμε, χωρίς ουσιαστικό σφάλμα για το αποτέλεσμα που μας ενδιαφέρει, να υποθέσουμε ότι η χημική σύσταση του ανθρώπινου σώματος είναι H2O. Στον όγκο V θα περιέχονται (1gr cm-3)x(7x104cm-3)x1/18 γραμμομόρια δηλαδή N=4x103Nο μόρια H2O όπου Nο=6x1023 (αριθμός του Aβογκάντρο). Θα υπάρχουν κατά συνέπεια (8+2)N πρωτόνια και 8N νετρόνια και επομένως 3x18N κουάρκ. Ο όγκος των 10Ν ηλεκτρονίων είναι αμελητέως. Ο όγκος των 3x18N κουάρκ θα είναι (3x18N) (4π/3) (10-13cm)3=6 10-10cm3. Αυτός είναι όγκος μιας σφαίρας με ακτίνα περίπου 5μ, δηλαδή περίπου όσο το μέγεθος ενός κόκκου σκόνης. Kατά συνέπειαν τα στοιχειώδη φερμιόνια που απαρτίζουν το ανθρώπινο σώμα θα μπορούσαν να συμπυκνωθούν σε μια μικροσκοπική σφαίρα με ακτίνα τάξεως μεγέθους του ενός μικρού. Tο αποτέλεσμα αυτό ισχύει για κάθε μορφή συνηθισμένης ύλης, που συνακόλουθα φαίνεται να περιλαμβάνει ανάλογικά τεράστιες περιοχές "κενού". O χώρος μεταξύ των στοιχειωδών φερμιονίων δεν ειναι ακριβώς "κενός", γιατί περιλαμβάνει ποικίλες πεδιακές διαμορφώσεις όλων των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων, όπως έχουμε αναφέρει.